Một Không gian vectơ là một "khu vực" toán học nghiêm ngặt, không được xác định bởi bản chất của các đối tượng, mà bởi cách những đối tượng đó hành xử. Dù bạn đang làm việc với các mũi tên trong $\mathbf{R}^n$, ma trận trong $\mathbf{M}$, hay các hàm liên tục, thì các quy tắc đều giống nhau.
Tám Tiên đề của Không gian
Mọi tập hợp các đối tượng sẽ là một không gian vectơ nếu nó tuân theo những quy tắc cơ bản sau:
- 1. Giao hoán: $x + y = y + x$
- 2. Phối hợp: $x + (y + z) = (x + y) + z$
- 3. Vectơ không: Tồn tại duy nhất một vectơ $0$ sao cho $x + 0 = x$
- 4. Phần tử nghịch đảo: Với mỗi $x$, tồn tại duy nhất một $-x$ sao cho $x + (-x) = 0$
- 5. Tính đồng nhất: $1x = x$
- 6. Tính phối hợp với vô hướng: $(c_1c_2)x = c_1(c_2x)$
- 7. Phân phối (I): $c(x + y) = cx + cy$
- 8. Phân phối (II): $(c_1 + c_2)x = c_1x + c_2x$
Định nghĩa Không gian con
Một không gian con $S$ của $V$ là một tập con được "đóng kín" dưới các phép toán của không gian lớn hơn. Bạn không bao giờ có thể thoát khỏi tập con bằng cách cộng các phần tử của nó hoặc nhân chúng với một vô hướng.
Định lý Đóng kín
Một tập con $S$ là một không gian con nếu và chỉ nếu với mọi $v, w \in S$ và mọi vô hướng $c, d$:
$$cv + dw \in S$$
Điều này ngụ ý rằng $S$ phải chứa vectơ không ($0 \in S$), vì $0v = 0$.Bao tuyến tính và Tổng
Bao tuyến tính span của một tập $S$ là không gian con nhỏ nhất chứa tất cả các vectơ trong $S$:
$$SS = \text{tất cả } c_1v_1 + \dots + c_nv_n$$
Hơn nữa, cho hai không gian con $S$ và $T$, tổng của chúng tổng $S + T$ (chứa tất cả các vectơ $s+t$) tạo thành một không gian con mới. Lưu ý rằng hợp $S \cup T$ hầu như chưa bao giờ là một không gian con!
🎯 Kiểm tra "Vectơ không" nhanh nhất
Cách nhanh nhất để loại bỏ một tập con khỏi khả năng là một không gian con là kiểm tra sự hiện diện của vectơ không. Nếu $x=0$ không nằm trong tập con, thì nó không thể là một không gian con. Những sai lầm phổ biến bao gồm các mặt phẳng bị dịch chuyển khỏi gốc tọa độ hoặc các góc phần tư loại trừ các giá trị âm.